La longitud de curva de una función

Hemos tratado a fondo distintas propiedades del cálculo infinitesimal, ya sean, asuntos del cálculo diferencial como los limites y derivadas, también tratando al cálculo integral, con el área bajo la curva y  una introducción a ecuaciones diferenciales.

Uno de los puntos importantes que se intentan resolver en el cálculo infinitesimal son los siguientes:

• La recta tangente en la curva de una función
• El área bajo la curva de una función
• La longitud de la curva de una función

Y para ello, nos apoyamos de las propiedades de las funciones en magnitudes infinitesimales, en esta ocasión, gracias a los puntos anteriores, entenderemos como calcular la longitud de la curva de una función.

Un punto a considerar para comenzar, es que para Leibniz, la curva de una función estaba compuesta por rectas infinitesimales, que a gran escala, dan forma a la curva de una función, como es vista.

En base a ese razonamiento, calcularemos una infinidad de rectas en un intervalo [a,b] de una función, desde luego, con apoyo de las integrales, es más sencillo.

Partimos de definir un segmento en la curva, planteando la longitud de dicho segmento y a partir de ello, encontramos un método estratégico, para definir la fórmula para una curva completa:

También se pudo integrar respecto "y", sin embargo, por comodidad, elegí integrar respecto "x".

A partir de ello y los correspondientes métodos de integración, podremos calcular con facilidad, la longitud de la curva de interés.

Nota:

S = [u]