Definición formal del limite de una función

Sabemos, que una función, puede presentar una discontinuidad, es decir, que por alguna razón, no puede ser evaluada en determinado "c", por la naturaleza de la función, ese tipo de discontinuidad puede variar dependiendo del caso.

De ley, las funciones por partes pueden presentar discontinuidad de salto finito, pero siendo definidas en determinado "c", en casos como la función racional,el presentar una indeterminación, puede presentar una discontinuidad de salto finito, sin embargo, esa discontinuidad puede ser evitable en determinados casos, y ese tipo de discontinuidad, la trataremos a continuación, a través de los limites.

Como podemos notar, la función no puede  ser evaluada en determinado "x", así que es discontinua en ese punto, sin embargo, esa discontinuidad, pinta a que es evitable, ya que no es de salto, no hay una variación finita o infinita en valores cercanos a ese "x" del dominio.

Podemos comprobar que es discontinuidad evitable, si intentamos conseguir el limite de la función en ese determinado "x", para ello, nos aproximaremos por la izquierda y derecha con evaluaciones cada vez más próximas, llegando a que, el limite por la izquierda se aproxima a un valor semejante al aproximado de el limite por la derecha.

Podemos asegurar, que nos acercamos a ese "L" de la función, en un rango de aproximación de la función, es decir, definiendo parámetros aproximados en el dominio y contradominio de la función.

Para ello, tomaremos la definición formal de limite.

Supongamos un valor "L" que queremos demostrar su presencia, a partir de ello, definiremos un epsilon y delta para el rango y dominio respetivamente, de forma que, se cumplen determinadas propiedades en esos datos considerados.

En pocas palabras, consideramos un rango de valores de la función con extremos dados por epsilon, que con ello, podemos definir delta, y ir haciendo las aproximaciones a dicho limite por izquierda y derecha, pudiendo cumplir o no, la propiedad fundamental del limite de todo f(x).

Las desigualdades desarrolladas con lo parámetros relacionando los datos considerados, nos tratan de decir, que en los intervalos desarrollados para el limite, los valores del dominio son lo suficientemente pequeños, para dar  una aproximación muy pequeña para comprobar, que el comportamiento de la función, lleve al limite.