La derivada n-esima

Se ha hablado sobre la regla de Leibniz en la n-esima derivada del producto, pudiendo llegar a la derivada n-esima, comprendiendo la semejanza entre su desarrollo, y el de la n-esima potencia de un binomio.

Pero, en general, podemos trabajar con la derivada n-esima de todo f(x), si etendemos el comportamiento de la derivada, por ejemplo, el siguiente caso:

Como podemos apreciar, existe un patrón en el desarrollo de las derivadas de f(x), en estos casos, siempre que hay una derivada impar, el signo de el numerador será negativo, y el exponente de Q(x) crece de forma consecutiva, además, existe un patrón en el numerador, en estos casos, podemos desarrollar la n-esima derivada, de la siguiente manera:

Eso puede aplicarse en otros casos, en general, en funciones no polinomiales, existen casos interesantes, como en los siguientes:

Ejemplo de función irracional

Ejemplo de función exponencial

Como podemos notar, tiene un patrón interesante, que nos permite rápido, llegar a cualquier derivada de la función.

Un detalle a considerar de la n-esima derivada, tanto de los ejemplos anteriores y el producto de funciones, es, que la cuando n=0, estamos viendo la función sin derivar.

En todos los casos, cuando n=0, encontramos la función que estamos derivando.

Detalles perfectos, que llenan de belleza a las matemáticas.