Función como conjunto de pares ordenados

El trabajar con conjuntos, es algo que pude llegar a ser frecuente en muchos asuntos de la vida cotidiana, como un grupo de alumnos en una escuela, un grupo musical, etc, grupos de "cosas" que tienen algo en común.

Sabemos que los conjuntos pueden ser numéricos, habiendo conjuntos, reales, racionales, irracionales, enteros y naturales, todos desarrollados en distintos contextos, sin embargo, el conjunto numérico por excelencia, aquél que tiene el uso más extenso, es el conjunto de los números reales.

En las matemáticas, una relación es, cuando a un elemento de un conjunto le corresponde un elemento de otro conjunto, y es algo que se puede aplicar en la vida diaria, como mencionar,  que a un alumno le corresponde una matricula, a un examen le corresponde una calificación, etc.

Las relaciones pueden representarse como conjuntos de pares ordenados, por ejemplo:

S = {(protón,antiprotón),(electrón,positrón),(neutrón,antineutrón)}

En este ejemplo, representamos la relación de correspondencia, entre una partícula y su antipartícula.

Las relaciones también pueden hacerse con números, en estos casos por comodidad recurrimos a los reales, donde hacemos una correspondencia de un real, con otro real, como se puede representar a continuación:

A un número "x" le corresponde un número "y", pudiendo ser, su doble, su raíz, su cuadrado, etc.

Cuando una relación entre dos números está dada por una expresión matemática, se dice que es una función, ejemplo:

y = 3x

 A todo "x" le corresponde su triple denominado "y", es claro que se pueden hacer expresiones más complejas que esta, y eso es muy útil en muchos casos.

Podemos representar esa relación con pares ordenados, como en ese caso, podemos plantear:

F = {(0,0),(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}

Obviamente es solo un ejemplo, la función tiene infinitos pares ordenados.

Por definición podemos representar a toda función como un conjunto de pares ordenados representando una relación numérica, dada por una expresión matemática, ejemplo:

F = {(x,y) : y =8x+18}

 Los conjuntos considerados en la relación tienen su respectivo nombre:

De forma abierta, llamemos variable independiente a "x", y variable dependiente a "y" y definamos los nombre:

• El conjunto numérico que contiene todos los valores de la variable independiente es llamado dominio
• El conjunto numérico que contiene a todos los valores de la variable dependiente es llamado contradominio o rango

Un detalle interesante, es que si graficamos todos los pares ordenados en el plano cartesiano, llegamos a bellas expresiones gráficas por así llamarlas, como el siguiente caso:

Eso nos ayuda a definir con facilidad el dominio y rango de la función, en estos casos, el dominio son todos los reales y el rango va desde -1 a 1, es decir, el intervalo [-1,1], por la amplitud de la onda representada por esa función.

En general las funciones se representan con f(x), para denotar que un valor es correspondido por un "x" del dominio.

Por naturaleza de la expresión matemática, podemos presentar una discontinuidad en la función, es decir, a un valor de "x", no le corresponde un "y", pudiendose ver de distintas formas, en estos casos, se dividen en tres tipos:

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

 Podemos saber cuando se presenta cada caso con los limites de una funcion, tema tratado en anteriormente, en la definición formal de limite.

El graficar, nos hace llegar a expresiones geométricas como rectas o parábolas, que nos ayudan a llegar rápido a su expresión matemática.

En la antiguedad, Leibniz, pensaba que una función se componía por rectas infinitesimales, hoy en día tenemos esta definición de función, desde luego, su representación gráfico puede presentar rectas tangentes y área bajo su curva, eso es tratado en el cálculo diferencial y integral respectivamente, ya que tienen propiedades de mucha importancia en su abstracción y en modelos matemáticos.

El producto cartesiano

Supongamos los siguientes conjuntos:

A = {2,5,6}

B = {3,4,7}

Podemos formar a partir de ellos, un conjunto de pares ordenados, que es denominado, producto cartesiano, expresado, de la siguiente manera:

AxB = {(a,b) : a pertenece a A^ b pertenece a B}

En estos casos, el producto nos quedaría así:

AxB = {(2,3),(2,4),(2,7),(5,3),(5,4),(5,7),(6,3),(6,4),(6,7)}

Por extensión y por comprensión, el conjunto se ve de esas formas.

Al experimentar con el producto cartesiano, podemos llegar a las siguientes propiedades:

• No existe la propiedad comnotativa en el producto cartesiano
• la cantidad de pares ordenados del producto es igual a la cantidad de elementos del conjunto A por la cantidad de elementos del conjunto B

Esas son propiedades relevantes que pueden describir mucho de ello.

Parece una simple casualidad de la teoría de conjuntos, pero tiene relevancia, dentro de las funciones de varias variables, ya que es una correspondencia, de un producto cartesiano y un determinado número de determinado conjunto.

La antiderivada n-esima

Anteriormente se trató a la derivada, y la derivada n-esima, de una función trascendente y el producto de funciones, pudimos notar que poder llegar a la derivada "n", tan solo sabiendo como se comportan sus derivadas.

Las integrales, también conocidas como antiderivadas no se quedan atrás, su comportamiento en algunos casos sigue un patrón, que podemos aprovechar para expresar la antiderivada n-esima, ejemplo:

Al contrario de la derivada n-esima, cuando n=0, no llegamos a la función.

Al igual que las derivación en funciones trascendentes, también podemos encontrar interesantes expresiones para llegar rápido a la antiderivada de interés.

La longitud de curva de una función

Hemos tratado a fondo distintas propiedades del cálculo infinitesimal, ya sean, asuntos del cálculo diferencial como los limites y derivadas, también tratando al cálculo integral, con el área bajo la curva y  una introducción a ecuaciones diferenciales.

Uno de los puntos importantes que se intentan resolver en el cálculo infinitesimal son los siguientes:

• La recta tangente en la curva de una función
• El área bajo la curva de una función
• La longitud de la curva de una función

Y para ello, nos apoyamos de las propiedades de las funciones en magnitudes infinitesimales, en esta ocasión, gracias a los puntos anteriores, entenderemos como calcular la longitud de la curva de una función.

Un punto a considerar para comenzar, es que para Leibniz, la curva de una función estaba compuesta por rectas infinitesimales, que a gran escala, dan forma a la curva de una función, como es vista.

En base a ese razonamiento, calcularemos una infinidad de rectas en un intervalo [a,b] de una función, desde luego, con apoyo de las integrales, es más sencillo.

Partimos de definir un segmento en la curva, planteando la longitud de dicho segmento y a partir de ello, encontramos un método estratégico, para definir la fórmula para una curva completa:

También se pudo integrar respecto "y", sin embargo, por comodidad, elegí integrar respecto "x".

A partir de ello y los correspondientes métodos de integración, podremos calcular con facilidad, la longitud de la curva de interés.

Nota:

S = [u]

Demostración del teorema fundamental del cálculo

Anteriormente hemos tratado con distintos asuntos, como podría ser, las funciones compuestas, el valor medio y las derivadas, todo ello, nos ayudará a demostrar el teorema, que en métodos sencillos, se simplifica en los siguiente:

En el siguiente caso, el considerar funciones en los limites de integración, solo requerimos de, la regla de la cadena y demás técnicas de derivación conocidas, ya que podemos asegurar, que es real.

El teorema de valor medio para integrales

Anteriormente trabajamos con el teorema del valor medio, apreciando que en un intervalo continuo [a,b] y derivable en (a,b), existe un "c", que resulta semejante a la tasa de variación del intervalo.

Podemos ver una variante de dicho teorema si añadimos una integral:

Supongamos que f'(x)=g(x) podemos entender al lado derecho de la igualdad, como el valor promedio de la función en el intervalo [a,b]:

A partir de ello, supongamos las propiedades que debe presentar la función:

• g(x) es continua en [a,b]
• g(x) es derivable en (a,b)

Si determinada función cumple esas propiedades, existe un "c" dentro del intervalo [a,b], que su valor es equivalente a la tasa de variación media del intervalo.

El cálculo diferencial y los números imaginarios

Anteriormente tratamos a la n-esima derivada de una función trascendente, sin embargo, a pesar de encontrar esos patrones, existen ciertas funciones, que requieren un trato especial, seno y coseno, ya que, dichas funciones, forman un ciclo de 4 derivadas en los que se pasa de seno a coseno a menos seno, etc.

Pudiendo visualizar las derivadas, como un giro de un plano finito:

Como podemos notar, es como si por cada derivada, girara 90°, semejante al giro de número:

La diferencia es que en estos casos, solo consideramos los 4 giros de 90° para la vuelta completa, el considerar eso, nos puede ayudar a llegar rápido, a la n-esima derivada de seno, aplicando las propiedades, de la potenciación de números imaginarios, los números complejos, están ahí, sin darnos cuenta.

Ejemplo, si optamos por la novena derivada de sen(x), al utilizar las propiedades de los imaginarios suponiendo i^9, llegamos a i, que en el plano de la derivada de seno, equivale a cos(x).

No solo la trigonometría ha entrado al reino complejo, también el cálculo diferencial, y pronto, quizás encontremos más adaptaciones, a dicha rama de estudio.

La derivada n-esima

Se ha hablado sobre la regla de Leibniz en la n-esima derivada del producto, pudiendo llegar a la derivada n-esima, comprendiendo la semejanza entre su desarrollo, y el de la n-esima potencia de un binomio.

Pero, en general, podemos trabajar con la derivada n-esima de todo f(x), si etendemos el comportamiento de la derivada, por ejemplo, el siguiente caso:

Como podemos apreciar, existe un patrón en el desarrollo de las derivadas de f(x), en estos casos, siempre que hay una derivada impar, el signo de el numerador será negativo, y el exponente de Q(x) crece de forma consecutiva, además, existe un patrón en el numerador, en estos casos, podemos desarrollar la n-esima derivada, de la siguiente manera:

Eso puede aplicarse en otros casos, en general, en funciones no polinomiales, existen casos interesantes, como en los siguientes:

Ejemplo de función irracional

Ejemplo de función exponencial

Como podemos notar, tiene un patrón interesante, que nos permite rápido, llegar a cualquier derivada de la función.

Un detalle a considerar de la n-esima derivada, tanto de los ejemplos anteriores y el producto de funciones, es, que la cuando n=0, estamos viendo la función sin derivar.

En todos los casos, cuando n=0, encontramos la función que estamos derivando.

Detalles perfectos, que llenan de belleza a las matemáticas.

Definición formal del limite de una función

Sabemos, que una función, puede presentar una discontinuidad, es decir, que por alguna razón, no puede ser evaluada en determinado "c", por la naturaleza de la función, ese tipo de discontinuidad puede variar dependiendo del caso.

De ley, las funciones por partes pueden presentar discontinuidad de salto finito, pero siendo definidas en determinado "c", en casos como la función racional,el presentar una indeterminación, puede presentar una discontinuidad de salto finito, sin embargo, esa discontinuidad puede ser evitable en determinados casos, y ese tipo de discontinuidad, la trataremos a continuación, a través de los limites.

Como podemos notar, la función no puede  ser evaluada en determinado "x", así que es discontinua en ese punto, sin embargo, esa discontinuidad, pinta a que es evitable, ya que no es de salto, no hay una variación finita o infinita en valores cercanos a ese "x" del dominio.

Podemos comprobar que es discontinuidad evitable, si intentamos conseguir el limite de la función en ese determinado "x", para ello, nos aproximaremos por la izquierda y derecha con evaluaciones cada vez más próximas, llegando a que, el limite por la izquierda se aproxima a un valor semejante al aproximado de el limite por la derecha.

Podemos asegurar, que nos acercamos a ese "L" de la función, en un rango de aproximación de la función, es decir, definiendo parámetros aproximados en el dominio y contradominio de la función.

Para ello, tomaremos la definición formal de limite.

Supongamos un valor "L" que queremos demostrar su presencia, a partir de ello, definiremos un epsilon y delta para el rango y dominio respetivamente, de forma que, se cumplen determinadas propiedades en esos datos considerados.

En pocas palabras, consideramos un rango de valores de la función con extremos dados por epsilon, que con ello, podemos definir delta, y ir haciendo las aproximaciones a dicho limite por izquierda y derecha, pudiendo cumplir o no, la propiedad fundamental del limite de todo f(x).

Las desigualdades desarrolladas con lo parámetros relacionando los datos considerados, nos tratan de decir, que en los intervalos desarrollados para el limite, los valores del dominio son lo suficientemente pequeños, para dar  una aproximación muy pequeña para comprobar, que el comportamiento de la función, lleve al limite.

El teorema del valor intermedio

Supongamos la siguiente curva de una función:

Supongamos el intervalo [a,b] para todo "x" del dominio, pudiendo apreciar, el rango de la función en ese intervalo del dominio.

El teorema del valor intermedio, establece que, en todo intervalo continuo [a,b], en el rango de la función, para todo "L", existe un valor "c" tal que el limite cuando la variable independiente tienda a  "c", tendrá su respectivo "L".

Suponiendo el caso anterior, la curva planteada, podemos demostrar de forma sencilla el teorema, establezcamos el intervalo [0,3] del dominio, como podemos apreciar, el rango se visualiza con el intervalo [0,1], la curva de la función, nos hace ver, que todo valor de "x", tiene un correspondiente valor de "y", dando a entender, que incluso si nos acercamos, tendremos el correspondiente acercamiento.

Podemos definir el limite con métodos formales, pero es un asunto para otra ocasión.

Teorema fundamental del cálculo

Anteriormente se ha tratado por su parte al cálculo diferencial, y levemente, el cálculo integral, podríamos decir que tienen en común, que tratan con magnitudes infinitesimales, para hacer profundas descripciones, pero, hay una relación más profunda entre ellas, llamada, el teorema fundamental del cálculo, dividida en dos partes.

Parte 1

Supongamos la siguiente función:

Esta es una función que define el área bajo la curva en el intervalo [a,x], es decir, esa función es una integral definida en el intervalo [a,b], después de una serie de operaciones, llegamos a lo siguiente.

Si se cumplen las siguientes propiedades:

• G(x) es continua en [a,b]
• G(x) es derivable en (a,b)

Si todo ello se cumple, podemos asegurar que:

Eso puede ser demostrado, pero requiere métodos complejos, con la simple lógica de una integral, podemos demostrarlo, pero esos son asuntos, para un curso general, otros casos son los siguientes:

Esos son los casos que se pueden presentar cuando derivamos G(x), dependiendo de sus limites de integración.

Todo lo planteado, se cumple si la función área, presenta las propiedades planteadas en un principio.

Eso nos lleva a nuevas propiedades, por pensar, que la integral, es operación contraria a la derivada, es decir, podemos integrar una función, de forma que si la derivamos, llegamos a la función original, lo interesante es que eso, da paso a las ecuaciones diferenciales, ya que, si conocemos la derivada de una función, con ayuda de las integrales, podemos encontrar la función, comprobando, si al derivar, llegamos a lo planteado en un principio.

Y esa propiedad podemos extenderla a la segunda y n-esima derivada, pudiendo llegar, a la función principal, haciendo lo contrario a la derivada n-esima.

Parte 2

Sabemos que la integral definida en el intervalo [a,b], es una función área que como prioridad, debe ser continua en ese intervalo y derivable en (a,b), una manera sencilla de expresar el polinomio resultante de la integral es la siguiente:

Por convenio, elegimos añadir una constante de integración, para diferenciar la antiderivada de una función, de las demás posibles:

De esta manera, obtenemos el área de la curva en el intervalo [a,x], pero podemos definir de mejor forma esa integral definida, si sabemos que F(a) = 0:

En pocas palabras, por el teorema fundamental del cálculo, sabemos que:

La existencia de funciones, lo hace todo más fácil, podemos asegurar, que esta definición de derivada es más fácil de usar, que la suma de Riemann.

De las mayores bellezas de las matemáticas, el cálculo infinitesimal.

La integral de una función

Una integral, simplemente de esa forma, se entiende como la antiderivada de una función, pero, hay un gran trasfondo detrás de ello, ya que, la integral, en términos oficiales, es el área bajo la curva de una función en un intervalo definido, en estos casos, el intervalo [a,b].

Desde siempre, se ha querido encontrar el valor de el área de determinado cuerpo geométrico, como lo sería un triángulo, rectángulo, etc, incluso considerar el área de curvas de una función.

Existe un método eficaz, consiste en sumar una gran cantidad de áreas de rectángulos bajo la curva, como se muestra a continuación:

Mientras más pequeños sean los círculos, más precisa será la medición del área, se cree, que si los rectángulos son más delgados, podremos medir de forma más precisa el área, la longitud de dicha base, es la diferencia de limites de área entre el total de rectángulos, es decir:

dx = (b-a)/n

 Y el área de dicho rectángulo está dada por:

f(x)dx

Consideramos que es una sumatoria de infinitos rectángulos, y para mayor precisión, tratamos con, infinitos rectángulos:

El área bajo la curva de una función, como indica la imagen, puede calcular eventos físicos, como el trabajo, distancia, etc.

Eso es una propiedad de gran importancia en el cálculo integral, es lo que hace todo más fácil, a la hora de describir eventos, en próximos blogs, aprenderemos a trabajar de una forma más sencilla con la integral partiendo, del teorema fundamental del cálculo.

Analisis de las funciones compuestas

Supongamos las siguientes funciones:

f(x) = (x+2)^2

g(x) = x-8

 Una  función compuesta, es, una función evaluada con otra función, lo interesante, es que trae consigo, propiedades abstractas, que a continuación trataremos.

Si evaluamos f(g(x)) :

f(g(x)) = (x-6)^2

Resulta, que siempre se cumple lo siguiente:

f'(g(x)) = f'(g(x))g´(x)

Lo demostraremos a continuación:

f'(g(x)) = 2(x-6)

y sabemos que:

g'(x) = 1

f'(x) = 2(x2)

f'(x) = 2(x-8+2)

f'(g(x)) = 2(x-6)

El resultado coincide, en algunos casos, la función compuesta puede tener distinto dominio a las funciones que la forman, por el tipo de funciones que tratamos, en estos casos, tienen el mismo dominio.

Sabemos que toda función injectiva es invertible, un detalle a considerar, es que si evaluamos la función con la función inversa, obtenemos la función identidad, es decir f(x) = x, y eso nos ayuda a visualizar la simetría entre esas funciones.

Una propiedad bellísima, de las mejores abstracciones de las matemáticas.