Los teoremas fundamentales de los números complejos

Antes de todo, incorporaremos una nueva variante de un número complejo además de su conjugado, su opuesto.

El cual, en pocas palabras, es el número complejo multiplicado por -1, es decir:

Si un número complejo es Z = x+yi, su conjugado sería Z* = -Z, es decir, Z* = -x-yi.

Podemos visualizar en el plano complejo, a un número complejo, junto a su opuesto y conjugado:

Como podemos apreciar, el módulo de todos los complejos es semejante, es decir:

                                                                     |Z| = |Z*| = |Z~|

Llamando como "|Z~|" al respectivo complejo conjugado.

Eso se puede demostrar fácilmente por el teorema de pitagoras, comprendiendo la ley de los signos y leyes de potenciación.

Un teorema de gran interés es el siguiente:

                                                                      |Z|^2=(Z)(Z~)

 Eso podemos demostrarlo, haciendo uso de la sustitución y propiedades esenciales de los números:

El teorema de igual relevancia establece que: 

Eso lo podemos demostrar fácilmente con la fórmula de Euler:

Y así de sencillo, puede ser demostrado.

Los números complejos tienen propiedades como, comportamiento de vector, la suma y resta de argumentos si hay una multiplicación o división respectivamente, su interpretación como exponencial por entender el giro, etc.

Todas esas propiedades, nos sirven para describir el universo, y pronto, sabremos de que forma lo hacen.