La incorporación de la trigonometría en el reino complejo

El existir de los números complejos, ha hecho que tengamos otra comprensión de estos, como saber que los números pueden girar, además de que, un negativo, es un positivo girando, eso nos trae, nuevas comprensiones sobre los números complejos, por simple lógica, podemos pensar que la única manera en la que un número puede girar, es considerándolo como vector, y realmente, al sumar números complejos, el número complejo resultante, tiene el comportamiento de un vector resultante de la suma de dos vectores linealmente independientes.

La trigonometría tiene mucho de que hablar en cuanto a la manifestación de los números complejos, existen identidades trigonométricas que aparentan no ser demostrables, como las siguentes:


                                                cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)
                                                sen(x+y) = cos(x)sen(y)+cos(y)sen(x)


Esas identidades pueden ser demostradas a través de números complejos apoyandonos de los aportes que trajo consigo la fórmula de Euler.

Sabemos que por si misma, representa el giro de 1, en determinado ángulo.

El producto de 1 girando un ángulo "x" por 1 girando un angulo "y", podemos representarlo con la fórmula de Euler:

Y podemos ir desarrollando por ambos lados, llegando a lo siguiente:

No solo eso se puede demostrar, como ya sabemos, tanto seno como coseno se pueden representar como una suma o resta de exponenciales complejas, que a continuación serán demostradas.

En el caso de seno:

Evidentemente, se cancela el término "2i" en numerador y denominador.

En el caso de coseno:

Evidentemente, el 2, se cancela en numerador y denominador.

Esa notación de exponenciales, surge de un par de teoremas por así llamarlos, de los números complejos y su respectivo conjugado, el uso de un argumento negativo en la fórmula, representa el conjugado, como se vio en la primer publicación.

El reino complejo abarca muchos campos de las matemáticas, que pronto iremos conociendo mucho mejor.