Con la llegada de la geometría analítica, el álgebra y la geometría pudieron unificarse a través del plano cartesiano, desde figuras hasta funciones, han sido apreciadas de mejor manera gracias a ese plano, muchas ramas como el cálculo infinitesimal surgieron gracias a las ventajas que proporcionaba el plano cartesiano.
Pero dichas ventajas no solo se basan en los conceptos geométricos y algebraicos, también tiene gran importancia en la comprensión de los números.
Desde el inicio de el hombre trabajador, ha recurrido a distintos métodos para trabajar más cómodo, como lo sería, la "invención" de los números y operaciones básicas, ahora, sabemos que no es una invención, es algo que de poco en poco, el razonamiento humano va descubriendo.
- Naturales (los utilizados para contar)
- Enteros (Una extensión de los naturales a los números negativos, es decir, números "completos", tanto positivos como negativos)
- Racionales (números fraccionarios, recurrentes en la repartición de cantidades)
- Irracionales (números decimales, imposibles de representar como racionales, no todo número decimal se puede considerar irracional solo porque si, pero podemos asegurar que las raíces imperfectas, son números irracionales)
En la medición de magnitudes vectoriales y escalares, se recurre a distintos números tanto positivos como negativos, lo que trae consigo un nuevo conjunto, los números reales.
En términos sencillos, el conjunto de los números reales, es el conjunto unión del conjunto de los números racionales y el de los conjuntos de los números irracionales.
Este nuevo conjunto, trae consigo distintas propiedades, como lo sería, expresar un número como un irracional o como un racional, ejemplo:
0.99999999...9 = 1
Los números reales, también pueden tener operaciones, unas propiedadesinteresantes, serían las siguentes:
Propiedad distributiva:
W(a+b+...+z) = Wa+Wb+...+Wz
(a+b)(c+d) = a(c+d)+b(c+b)
Propiedad asociativa:
(a+b)+c = (c+a)+b = (a+c)+b = (b+a)+c
(x)(y)(z) = (z)(y)(x) = (z)(x)(y) = (y)(z)(x)
Propiedad comnotativa:
(a)(b) = (b)(a)
a+b = b+a
Y como sabemos, los números reales, se pueden representar gracias a la geometría analítica, como una recta infinita:
A través de ella, podemos notar como se visualizan las operaciones con números.
Cuando a un número le sumamos una cantidad, es como si se desplazara esa cantidad de unidades a la derecha, en el caso de la resta, es como si se desplazara, esa cantidad de unidades a la izquierda.
Lo mejor se viene cuando multiplicamos un positivo por -1, el efecto visto, es como si pudiera girar 180°, y si lo volvemos a multiplicar por -1, vuelve a la posición inicial, dando en total, un giro de 360°.
Claramente pueden haber giros intermedios, es decir, giros de 90° y 270°, resulta, que si multiplicamos a ese real positivo por la raíz de -1, gira 90° y así de poco en poco, en cuatro pasos llega al número inicial, por convenio, a la raíz de -1, por ser un "invento", es denominada como "i":
Los números pueden presentar giros intermedios, y si presentan giros con ángulos rectos y llanos, también pueden presentar giros con ángulos agudos, obtusos, etc.
Como se puede visualizar, el giro de un número ángulo por ángulo, hace que se forme una circunferencia con todos los estados de ese número y sabiendo que existen infinitos números con infinitos estados, se forma el siguente plano cartesiano:
Se forma lo conocido como plano complejo, donde el eje de los números imaginarios, es decir, los múltiplos de "i", se visualizan como una recta ortogonal a la recta de los reales.
Por convenio, el estado de un número en su giro, se interpretan como puntos, los cuales son, pares ordenados de reales y imaginarios, pudiendo expresarlos como:
Pares ordenados: Z = (x,y)
Vectores: Z = <x,y>
Binomios: Z = x+yi
El último, el binomio, surgió tras intentar aplicar la raíz de -1, en ecuaciones que aparentemente no tenían solución, como el siguente caso:
En algunos casos, por tratarse de una ecuación más extensa, llegamos a sumar un real y un imaginario, es es llamado, número complejo, es decir, los puntos del plano complejo, son conocidos como números complejos.
Tras experimentar con los números imaginarios, llegamos a distintas propiedades, como lo sería sumar dos números complejos, por el hecho de poder representarse como vectores, la suma de ellos se puede visualizar de la siguente manera:
Una representación perfecta, ese paralelogramo, tiene un área, que con métodos de álgebra lineal, puede ser calculada, pero no es algo que extenderemos por ahora.
Un número complejo puede extenderse a distintas formas, pero por tratarse también de un binomio, puede tener su conjugado es decir:
Si tenemos:
Z = a+bi
Su conjugado sería:
Z = a-bi
Si los visualizamos en el plano complejo, se ven de la siguente manera:
El poder tener un número complejo expresado como vector, nos permite, ver, que dicho número tiene magnitud, dirección y sentido, pero algunos nombres pueden cambiar.
La magnitud del vector complejo es, el el módulo del número complejo, y su dirección es el argumento del número complejo, a continuación una definición precisa de cada uno:
- Módulo del número complejo: El número real que está girando
- Argumento del número complejo: El ángulo de giro del número real
Como el giro completo de un número se puede ver como una circunferencia, esta circunferencia puede presentar un radio, y cada punto de esa circunferencia es un número complejo que se puede interpretar como vector, podemos tener muchos números complejos con respectivos argumentos, y como un vector puede pasar de notación polar a rectangular, podemos hacer lo mismo con los números complejos.
En estos casos, más que pasar de una coordenada a otra con funciones trigonométricas, nos apoyamos de la siguiente fórmula:
Dicha fórmula puede ayudarnos a pasar de una notación a otra, entendiendo que representa, el giro de un número, ejemplo, si suponemos que phi es 45°, resulta que 1 girando 45° es 0.7070+0.7070i.
Y eso se puede extender a todo número multiplicando ambos lados de la fórmula por |Z|, donde |Z| representa el módulo del número complejo.
Así, pudiendo entender mejor a los números complejos:
Eso nos ayuda a visualizar, el giro de un número y su conjugado complejo.
El implementar el uso de números complejos y funciones trigonométricas en uno solo, nos hace llegar a las siguentes identidades:
Y no solo en la trigonometría encontramos maravillas, el álgebra no se queda atrás.
Si suponemos que 1 gira 180°, es decir pi radianes, llegamos a la identidad de Euler:
Además, los números complejos confirman el teorema fundamental del álgebra, el cual afirma que toda ecuación polinomial grado "n", tiene "n" soluciones, pudiendo ser estas, reales, y ahora, también complejas.
Los números complejos no tienen orden, por visualizarse como puntos, además, se considera como el conjunto numérico más grande que existe, teniendo la siguiente representación:
C = {x+yi : x pertenece a R}
El incluir la fórmula de Euler en la representación y notación polar de un número complejo, nos ayuda a llenar ciertos huecos que se formaron al descubrirlos.
Cuando multiplicamos dos números complejos el módulo del complejo resultante es el producto de los módulos involucrados en la multiplicación, y el argumento es la suma de los argumentos involurados, además al dividir complejos, el módulo resultante es la división de los módulos involucrados y el argumento es la resta de los argumentos involucrados.
Gracias a la fórmula de Euler, esto se puede explicar de forma muy sencilla, se debe a que por presentar una exponencial, las leyes de potenciación actuan aplicando la suma o resta de exponentes por tratarse de bases iguales, podemos asegurar, que la fórmula de Euler no solo es una fórmula de conversión, es la esencia de los números complejos.
En próximos blogs, habrán más explicaciones sobre números complejos, desde más identidades trigonométricas, hasta la inclusión de las funciones complejas y la representación gráfica de las soluciones de una ecuación polinomial de grado mayor a 1.
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