La regla de Leibniz

Supongamos la siguiente función dependiente de "x":

f = gy

Tal que f es el producto de dos funciones, observemos el siguiente comportamiento:

La primera derivada está dada por:

f' = g'y+gy'

y la segunda por:

f'' = g''y+g'y'+g'y'+gy''

g''y+2g'y'+gy''

y la tercera por:

 f''' = g'''y+g''y'+2(g''y'+g'y'')+g'y''+gy'''

= g'''y+3g''y'+3g'y''+gy'''

y la cuarta por:

f'''' = g''''y+g'''y'+3(g'''y'+g''y'')+3(g''y''+g'y''')+g'y'''+gy''''

= g''''y+4g'''y'+6g''y''+4g'y'''+gy''''

Como podemos notar, se comporta igual que un binomio de exponente "n", al ser desarrollado.

En base a ello, podemos llegar a algunas conclusiones de la derivada n-esima:

• La cantidad de términos que contiene, están dados por: n+1
•  La derivada va desde la n-esima de "g", de forma descendente, hasta llegar a la función sin derivar, el caso contrario pasa con "y"
• Existe una simetría en los coeficientes de las derivadas desarrolladas
• Podemos expresar dicha derivada como una sumatoria

En base a la ultima conclusión, la n-esima derivada de una función f, tal que es el producto de dos funciones, está dada por:

Una belleza de expresión, muy útil y segura, una de las más grandes bellezas de las matemáticas, la regla de Leibniz.