El cálculo diferencial y los tipos de ecuaciones

Desde siempre, en una clase de matemáticas, tarde o temprano llegábamos a una ecuación.

Pero, ¿qué es una ecuación?, en términos sencillos, una ecuación es una igualdad que involucra polinomios, en la que desconocemos el valor de una variable, lo que queremos hacer es, encontrar el valor de la variable para que se cumpla la igualdad, es decir, encontrar la solución de la ecuación.

Dichos polinomios son de grado "n", llevándonos esto, al teorema fundamental del álgebra:

Toda ecuación polinomial de grado "n", tiene "n" soluciones, pudiendo ser reales o complejas.

No solo nos conformamos con encontrar una solución, también podemos encontrar dos soluciones partiendo a partir de ello, al siguiente asunto:

• Para encontrar el valor de "n" incógnitas, requerimos de "n" ecuaciones, además de que la interpretación gráfica de la solución, puede variar, dependiendo de la cantidad de incógnitas con las que trabajemos.

Un ejemplo sencillo son los sistemas de ecuaciones 2x2, que representan, la intersección de dos rectas en el plano cartesiano, sabiendo que estas, se pueden representar con ecuaciones:

La solución, se representa con el par ordenado S(x,y), es decir, el punto de intersección de ambas rectas, una manera de llegar a esa solución, es interpretar que ambas ecuaciones son iguales, y eso nos lleva a una ecuación lineal, cuya solución es, el valor de "x" que hace que ambos lados de la igualdad, sean semejantes, y ese valor obteniendo, es el valor de "y", llegando así, al par ordenado solución.

Existe una rama de las matemáticas dedicada totalmente a ese tipo de comportamiento, el álgebra lineal, incluso trayendo consigo, asuntos nuevos como matrices y espacios vectoriales.

No solo podemos intersectar rectas, también funciones, como lo serían las siguientes:

h(x) = log(x)

u(x) = 10^x

g(x) = x^2

Dichas funciones, podemos notar, que en algunos casos, es evidente que no hay intersección, como lo sería h(x) y u(x), ya que son funciones inversas, por lo tanto, h(u(x)) = x, es decir, se forma una asíntota entre dichas funciones.

En el caso de considerar la intersección de una de ellas y g(x), si nos hace llegar a algo, pero por considerar la exponencial y la expresión "logarítmica", nos parece complicado trabajar con ello, una vía posible, es el teorema de Bolzano.

El teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano establece que en una función presenta un cero en un intervalo [a,b] del dominio si se presentan las siguientes condiciones:

• La función es continua en [a,b]
• La función es derivable en (a,b)
• f(a) tiene distinto signo que f(b)

Podemos aprovechar ello para encontrar la solución a la intersección entre h(x) y g(x).

Para ello consideramos lo siguiente:

10^x = x^2

10^x-x^2 = 0

 

 Llegamos a una nueva función, f(x) = 10x^2-x^2, cuya cero, es decir, intersección en el eje "x" del plano cartesiano al graficar, está dado por el valor de "x" que se requiere para dar solución a la ecuación.

A partir de ello, tenemos que encontrar, el cero de la función, con ayuda del teorema de Bolzano, que puedo asegurar, será una aproximación.

En estos casos, el teorema no se puede cumplir, ya que la última condición no se cumple, la función solo está definida en valores negativos.

Existen casos distintos, y para ello requerimos aproximarnos, y en eso nos pueden ayudar las operaciones iterativas.

Las operaciones iterativas, son aquellas que, se realian mas de una vez hasta llegar a una solución aproximada.

Un ejemplo de ello es el método Newton-Raphson, una operación iterativa que nos ayuda a llegar a el cero de una función a través de derivadas, interpretando la idea de esta manera:

 Definimos la recta tangente a un punto de la curva, cuya intersección en el eje "x", está muy cerca de el cero de la función, formulando la derivada, llegamos a la fórmula, sabiendo que :

f'(x) = m

A partir de ello, podemos aproximarnos al cero de la función, y así, aproximarnos a la solución, aunque podemos también, ir disminuyendo el intervalo continuo, limitando los valores hasta llegar a la solución.