Como ya sabemos, las funciones, desde la definición principal, son una relación de correspondencia entre dos variables, donde a el valor de una variable, le corresponde el valor de otra:
S={(1,a), (2,d), (3,b), (3,c)}
Lo que diferencia a una función de otro tipo de relaciones de correspondencia es, que esa correspondencia está dada con una expresión matemática, ejemplo:
y = 2x
El conjunto numérico que contiene a la variable independiente, por así llamarla, se le conoce como dominio, mientras que el conjunto que contiene a los valores de correspondencia, es decir, a la variable dependiente, se le conoce como rango o condominio, dichos conjuntos se ven de la siguente manera:
D = {x : x pertenece a R}
C = {y : y pertenece a R ^ y = f(x)}
El término "f(x)", representa la correspondencia de esa variable, es decir, "y", es el correspondiente valor de un valor "x", en este caso, el doble de un valor "x".
El considerar así a la correspondencia, nos permite realizar ecuaciones, como sería, encontrar el número que le corresponde dicho números.
Estos casos, son conocidos como función real, claro que el mundo complejo no se queda atrás.
Supongamos una región del plano complejo:
Las funciones complejas, son una relación de transferencia de una región de números complejos de un plano "C" a un plano "W", y esto se debe, a que tratamos con puntos en el plano complejo, es decir, números girando, no números sujetos a la recta real.
El proceso de traslado es llamado mapeo, un ejemplo sencillo es el siguiente:
Supongamos la siguiente función compleja:
f(Z) = 2Z+1
Y sabemos que:
Z = x+yi
Entonces:
f(Z) = 2(x+yi)+1
f(Z) = 2x+2yi+1
Acomodándolo en la notación de un complejo:
f(Z) = (2x+1)+2yi
Todo número complejo del plano "W" tiene la siguente notación:
w = u+vi
En estos casos, si:
f(Z) = w
Es decir, f(Z) define el correspondiente número complejo en ese plano, llegamos a:
u = 2x+1
v = 2y
Si suponemos que son coordenadas dependientes de el complejo que consideramos:
u(x,y) = 2x+1
v(x,y) = 2y
Las coordenadas del nuevo plano son obtenidas con esas ecuaciones paramétricas, llamadas así, por definir la ubicación del punto en el plano "W".
Este tipo de mapeo es muy sencillo, pero existen casos más complejos como los siguientes:
- f(Z) = cos(Z)
- f(Z) = e^Z
En el caso del coseno complejo, pueden hacer dos manifestaciones fundamentales, supongamos una recta:
Al ser mapeada, pasa de la siguiente manera:
Y eso lo podemos demostrar de una manera sencilla.
Después del largo proceso, llegamos a las siguientes ecuaciones paramétricas:
u(x,y) = cos(x)cosh(y)
v(x,y) = sen(x)senh(y)
Por tratarse de una recta vertical, x = n, es decir, es una constante, entonces, reducimos las ecuaciones a lo siguiente:
u(y) = cos(n)cosh(y)
v(y) = sen(n)senh(y)
Y suponemos que:
A = cos(n)
B = sen(n)
Y por comodidad, dejamos las ecuaciones de la siguiente forma:
u = Acosh(y)
v = Bsenh(y)
Despejamos las funciones hiperbólicas en ambas ecuaciones y encontramos la manera de llegar a la ecuación de la hipérbola, sabiendo lo siguiente:
cosh^2(t)-senh^2(t) = 1
Entonces a el cuadrado de la primera ecuación, le restamos el cuadrado de la segunda ecuación, llegando a lo siguiente:
Lo mismo pasa con una recta horizontal, la diferencia, es que nos lleva a lo siguente:
La demostración es la misma, solo que ahora, "y" es una constante y tenemos que sumar el cuadrado de ambas ecuaciones para llegar a la ecuación de la elipse, igual sustituyendo por una letra, las partes constantes de la ecuación paramétrica.
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