El teorema del valor medio

Quizás el título haga referencia a la última publicación, pero, dicho teorema es distinto, en gran parte, ambos tratan con las derivadas, eso si, pero, el trasfondo es distinto.

El teorema del valor medio establece, que en toda función continua en el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo (a,b), existe un valor "c" tal que f'(c) se igual que la inclinación de la recta pasada por los puntos P(a,f(a)) y P(b,f(b)).

Es decir, la razón de cambio promedio de la función entre "a" y "b" es semejante a f'(c).

Como es teorema, podemos trabajarlo muy fácil en cualquier función, ejemplo:

f(x) = sen(x)

si: a = 45° y b = 90°

Entonces:

f(45) = 0.7070

f(90) = 1

y f'(c) = [f(b)-f(a)]/b-a

Entonces:

f'(c) = (1-0.7070)/90-45

f´'(c) = 0.293/45

=0.006511

Y sabemos que en estos casos:

f'(x) = cos(x)

cos(c) = 0.006511

c = 89.62°

Y fácilmente podemos comprobar que se cumple el teorema, ese valor está entre 45 y 90, y su derivada es igual a la razón de cambio promedio de esos valores.

Más que nada, aprovechamos ello para llegar a esa igualdad, una demostración de este tipo de teoremas, requiere de explicaciones complejas que llegarán en su momento.