El cálculo diferencial y los tipos de ecuaciones

Desde siempre, en una clase de matemáticas, tarde o temprano llegábamos a una ecuación.

Pero, ¿qué es una ecuación?, en términos sencillos, una ecuación es una igualdad que involucra polinomios, en la que desconocemos el valor de una variable, lo que queremos hacer es, encontrar el valor de la variable para que se cumpla la igualdad, es decir, encontrar la solución de la ecuación.

Dichos polinomios son de grado "n", llevándonos esto, al teorema fundamental del álgebra:

Toda ecuación polinomial de grado "n", tiene "n" soluciones, pudiendo ser reales o complejas.

No solo nos conformamos con encontrar una solución, también podemos encontrar dos soluciones partiendo a partir de ello, al siguiente asunto:

• Para encontrar el valor de "n" incógnitas, requerimos de "n" ecuaciones, además de que la interpretación gráfica de la solución, puede variar, dependiendo de la cantidad de incógnitas con las que trabajemos.

Un ejemplo sencillo son los sistemas de ecuaciones 2x2, que representan, la intersección de dos rectas en el plano cartesiano, sabiendo que estas, se pueden representar con ecuaciones:

La solución, se representa con el par ordenado S(x,y), es decir, el punto de intersección de ambas rectas, una manera de llegar a esa solución, es interpretar que ambas ecuaciones son iguales, y eso nos lleva a una ecuación lineal, cuya solución es, el valor de "x" que hace que ambos lados de la igualdad, sean semejantes, y ese valor obteniendo, es el valor de "y", llegando así, al par ordenado solución.

Existe una rama de las matemáticas dedicada totalmente a ese tipo de comportamiento, el álgebra lineal, incluso trayendo consigo, asuntos nuevos como matrices y espacios vectoriales.

No solo podemos intersectar rectas, también funciones, como lo serían las siguientes:

h(x) = log(x)

u(x) = 10^x

g(x) = x^2

Dichas funciones, podemos notar, que en algunos casos, es evidente que no hay intersección, como lo sería h(x) y u(x), ya que son funciones inversas, por lo tanto, h(u(x)) = x, es decir, se forma una asíntota entre dichas funciones.

En el caso de considerar la intersección de una de ellas y g(x), si nos hace llegar a algo, pero por considerar la exponencial y la expresión "logarítmica", nos parece complicado trabajar con ello, una vía posible, es el teorema de Bolzano.

El teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano establece que en una función presenta un cero en un intervalo [a,b] del dominio si se presentan las siguientes condiciones:

• La función es continua en [a,b]
• La función es derivable en (a,b)
• f(a) tiene distinto signo que f(b)

Podemos aprovechar ello para encontrar la solución a la intersección entre h(x) y g(x).

Para ello consideramos lo siguiente:

10^x = x^2

10^x-x^2 = 0

 

 Llegamos a una nueva función, f(x) = 10x^2-x^2, cuya cero, es decir, intersección en el eje "x" del plano cartesiano al graficar, está dado por el valor de "x" que se requiere para dar solución a la ecuación.

A partir de ello, tenemos que encontrar, el cero de la función, con ayuda del teorema de Bolzano, que puedo asegurar, será una aproximación.

En estos casos, el teorema no se puede cumplir, ya que la última condición no se cumple, la función solo está definida en valores negativos.

Existen casos distintos, y para ello requerimos aproximarnos, y en eso nos pueden ayudar las operaciones iterativas.

Las operaciones iterativas, son aquellas que, se realian mas de una vez hasta llegar a una solución aproximada.

Un ejemplo de ello es el método Newton-Raphson, una operación iterativa que nos ayuda a llegar a el cero de una función a través de derivadas, interpretando la idea de esta manera:

 Definimos la recta tangente a un punto de la curva, cuya intersección en el eje "x", está muy cerca de el cero de la función, formulando la derivada, llegamos a la fórmula, sabiendo que :

f'(x) = m

A partir de ello, podemos aproximarnos al cero de la función, y así, aproximarnos a la solución, aunque podemos también, ir disminuyendo el intervalo continuo, limitando los valores hasta llegar a la solución.

La regla de Leibniz

Supongamos la siguiente función dependiente de "x":

f = gy

Tal que f es el producto de dos funciones, observemos el siguiente comportamiento:

La primera derivada está dada por:

f' = g'y+gy'

y la segunda por:

f'' = g''y+g'y'+g'y'+gy''

g''y+2g'y'+gy''

y la tercera por:

 f''' = g'''y+g''y'+2(g''y'+g'y'')+g'y''+gy'''

= g'''y+3g''y'+3g'y''+gy'''

y la cuarta por:

f'''' = g''''y+g'''y'+3(g'''y'+g''y'')+3(g''y''+g'y''')+g'y'''+gy''''

= g''''y+4g'''y'+6g''y''+4g'y'''+gy''''

Como podemos notar, se comporta igual que un binomio de exponente "n", al ser desarrollado.

En base a ello, podemos llegar a algunas conclusiones de la derivada n-esima:

• La cantidad de términos que contiene, están dados por: n+1
•  La derivada va desde la n-esima de "g", de forma descendente, hasta llegar a la función sin derivar, el caso contrario pasa con "y"
• Existe una simetría en los coeficientes de las derivadas desarrolladas
• Podemos expresar dicha derivada como una sumatoria

En base a la ultima conclusión, la n-esima derivada de una función f, tal que es el producto de dos funciones, está dada por:

Una belleza de expresión, muy útil y segura, una de las más grandes bellezas de las matemáticas, la regla de Leibniz.

El teorema del valor medio

Quizás el título haga referencia a la última publicación, pero, dicho teorema es distinto, en gran parte, ambos tratan con las derivadas, eso si, pero, el trasfondo es distinto.

El teorema del valor medio establece, que en toda función continua en el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo (a,b), existe un valor "c" tal que f'(c) se igual que la inclinación de la recta pasada por los puntos P(a,f(a)) y P(b,f(b)).

Es decir, la razón de cambio promedio de la función entre "a" y "b" es semejante a f'(c).

Como es teorema, podemos trabajarlo muy fácil en cualquier función, ejemplo:

f(x) = sen(x)

si: a = 45° y b = 90°

Entonces:

f(45) = 0.7070

f(90) = 1

y f'(c) = [f(b)-f(a)]/b-a

Entonces:

f'(c) = (1-0.7070)/90-45

f´'(c) = 0.293/45

=0.006511

Y sabemos que en estos casos:

f'(x) = cos(x)

cos(c) = 0.006511

c = 89.62°

Y fácilmente podemos comprobar que se cumple el teorema, ese valor está entre 45 y 90, y su derivada es igual a la razón de cambio promedio de esos valores.

Más que nada, aprovechamos ello para llegar a esa igualdad, una demostración de este tipo de teoremas, requiere de explicaciones complejas que llegarán en su momento.

El teorema de Rolle

Es interesante decirlo, pero hace un año, mientras estudiaba matemáticas 3 en la preparatoria, es decir, precálculo, me di cuenta de algo muy interesante.

En toda función cuadrática, el punto crítico se encuentra como punto medio del intervalo [a,b], es decir, supongamos la siguiente recta:

En toda función cuadrática definida en el intervalo [a,b], tal que f(a)=f(b)=0, existe un punto medio "c", tal que f(c) es el máximo o mínimo absoluto de la función cuadrática.

Eso era lógico, pero puede extenderse a más funciones, como las polinomiales de grado mayor a 2, incluso a funciones trigonométricas, en estos casos, seno y coseno.

Tiempo después comencé a aprender cálculo diferencial, lo mejor que he hecho al querer aprender algo, es una belleza de materia, contiene todo lo necesario para rellenar los huecos formados en el estudio de las relaciones y funciones, muchos asuntos puedo mencionar, pero lo ahora necesario es, la continuidad de una función y las derivadas de la misma.

Toda función es continua, siempre y cuando, a todo "x" perteneciente al dominio de la función, es decir, a todo real, le corresponda un valor del rango de la función, ejemplo sencillo:

D = {1,2,3,4}

                  

R = {3,6,9,12}

Pudiendo representar la relación con pares ordenados:

S = {(1,3).(2,6),(3,9),(4,12)}

Obviamente, podemos representar a la función con su expresión matemática:

f(x) = 3x

Sabiendo que el dominio está definido en el intervalo [1,4], tal que dicho intervalo pertenezca al conjunto de los números naturales.

Quizás haya contradicción a la definición de continuidad al tomar ese ejemplo, pero, solo es un subconjunto del conjunto de los números reales para el ejemplo, podemos permitirnos el uso de todos los reales, ya que por ser una función lineal, no hay problema con ello.

En el caso de que una función no tenga esa correspondencia total, se dice que es discontinua, ejemplo:

f(x) = (x+2)^1/2

Es decir, una función irracional, el binomio, está dentro del radicando, y por tratarse de ello, lo que está adentro, debe ser mayor o igual a cero:

x+2 >=0

x>=-2

D: x>=-2

Solo a valores menores o iguales a -2 del dominio, les corresponde un valor de la variable dependiente, no todos tienen correspondencia, es discontinua, lo mismo pasa con la función racional y logarítmica.

Eso podemos entenderlo a fondo con los limites, pero eso da para más tiempo, por ahora podemos comprender el comportamiento de una función en cuanto a la correspondencia, eso nos lleva a los siguientes tipos de funciones:

• Bijectiva: a un valor del dominio, le corresponde un valor del rango, sin presentar discontinuidades
• Injectiva: a un valor del dominio, le corresponde uno del rango, pudiendo presentar discontinuidades
• Sobrejectiva: a uno o más valores del dominio, les corresponde un mismo valor del rango, sin presentar discontinuidades

Toda función injectiva, es invertible.

Esas funciones, tienen un crecimiento o disminución de los valores, pudiendo ser decreciente, si f(b)<f(a), o ser creciente si f(a)>f(b), en ambos casos: a>b.

Podemos medir el incremento de los valores de la función, con la ayuda de rectas, partiendo de puntos de referencia, siendo más precisa, si no hay mucha diferencia entre los valores del dominio, en estos casos, si el incremento tiende a cero, llegamos a una descripción precisa, y eso es, con una recta tangente.

La inclinación de la recta tangente, llamada derivada de la función en un punto "x", representa el incremento o disminución instantáneo de los valores de la función, pudiendo describir, si los valores cambian o son constantes, etc.

Dicha derivada está dado por:

Donde "h" representa el incremento de la variable independiente.

Por comodidad, se desarrollaron reglas de derivación, para trabajar más fácil, llegando a los mismos resultados, una función que defina la inclinación de la recta tangente en determinado valor "x" perteneciente al dominio.

Un detalle a considerar, es que si existe f'(a), la función es continua en f(a).

En una función polinomial, de grado mayor a 1, cuando f'(a)=0, la función toma el valor máximo o mínimo en f(a),  y el signo de f''(a), define si es el máximo o mínimo, eso es algo, para tratarlo a fondo en otro caso, por ahora, todo lo mencionado, nos sirve para entender el teorema de Rolle, que conecta perfectamente, con mi idea de hace un año.

El teorema de Rolle

En toda función real continua en el intervalo [a,b], además de ser derivable en el intervalo (a,b), tal que f(a)=f(b), existe un valor "c", tal que f´(c)=0, o de forma más detallada, "c" es la media de "a" y "b", es decir, es el valor medio de ese intervalo del dominio de la función.

Eso podemos extenderlo para definir perfectamente, el punto crítico de una función, el punto donde la recta tangente es horizontal, es decir: f'(x)=0.

Supongamos la siguiente función:

f(x) = x^2+9x

Partiendo de la definición del punto crítico, el valor que nos da el máximo, es aquel cuya derivada es nula, es decir, cero:

f'(x) = 2x+9

2x+9 = 0

2x = -9

x = -9/2

f(-9/2) = (-9/2)^2+9(-9/2)

= (81/4)+(-81/2)

=(81-162)/4

= -81/4

=-20.25

 Siendo este, el valor mínimo, por el criterio de la segunda derivada, ya que la concavidad de la parábola, los valores van para el infinito positivo.

Si consideramos los valores de la función anteriores y posteriores, se puede apreciar que si es el mínimo, dando forma a la parábola de la función cuadrática.

Según el teorema de Rolle, sabiendo que f(0)=0 y f(-9)=0, la media de estos, es el punto crítico, y si la sacamos, llegamos a -9/2, el valor conseguido por la derivada.

Eso puede aplicar en más valores de la curva, que cumplan la simetría de la parábola:

a = -8

b = -1

Media = (-1-8)/2

= -9/2

 Coincide con el punto crítico, y eso se cumple con todos los valores de la función, y como lo plantié, no solo funciona con funciones polinomiales, también con funciones trigonométricas.

Ejemplo, partamos de la siguiente función:

f(x) = 6sen(x)

Tal que x = [grad]

Por definición de funciones trigonométricas, se sabe, que cuando el ángulo es de 90°, el segmento OP toca el punto P(1,0), la función trigonométrica es 1, es decir, toma el valor máximo, y cuando el segmento OP forma un ángulo de 270°, toca el punto P(0,-1), es decir, toma el valor mínimo, -1.

Entonces:

f(90°) =6

 Si f(0°) = 0 y f(180°) = 0, la media de estos debería ser 90°, y es así, se cumple el teorema de bolzano, pero no solo para dichos valores:

f(80°) = 5.9088

f(100°) = 5.9088

 La media de 80 y 100 es 90, se cumple el teorema de Rolle, valido para toda función con dichas propiedades.

Podemos comprobarlo con las derivadas claro:

f'(x) = 6cos(x)

6cos(x) = 0

cos(x) = 0

x =  arccos(0) 

x = 90°

 

Se cumple el teorema de Rolle.

Aunque las derivadas son muy limitadas en cuanto a funciones trigonométricas, por tratarse de funciones periodicas, ya que, solo nos ayuda a encontrar el primer punto crítico en el intervalo de 0 a infinito, uno de infinitos máximos o mínimos existentes.

El teorema de Rolle, una belleza del cálculo diferencial, de los mejores descubrimientos del hombre.

La corriente alterna y los números complejos

Para poder entrar de lleno a la corriente alterna, tendremos que entender los circuitos eléctricos y los tipos de materiales utilizables.

En general, los circuitos eléctricos, como lo dice su nombre, son circuitos cerrados que permiten el flujo de los electrones para permitir el funcionamiento de un dispositivo electrónico, dicho flujo, es solo permitido en materiales conductores.

En general, consideraremos dos tipos de materiales:

• Conductores: Son aquellos materiales que permiten el flujo de los electrones, es decir, el paso de la corriente eléctrica
• Aislante: Son ese tipo de materiales, que no permiten el flujo de los electrones

El circuito en un punto es cerrado con una carga, la cual limita el flujo de los electrones, en general, existen distintos tipos de fuentes para un circuito eléctrico, desde corriente hasta tensión, mejor conocida como voltaje, en estos casos, no centraremos en las fuentes de voltaje, tda la corriente que fluye en el circuito, es directamente proporcional a el voltaje, es decir, si tenemos un voltage de 40 watts, habrá un flujo de 40A, pero, como el circuito presenta una carga que limita la corriente, llegamos a la ley de OHM.

El flujo de los electrones es directamente proporcional a el voltaje del circuito e inversamente proporcional a la resistencia que genera:

                                                                   I = V/R
 
Una relación perfecta, y no es la única propiedad abstracta que podemos contemplar.

Si en un circuito hay una corriente y una resistencia, se puede generar voltaje, directamente proporcional a el producto de la corriente y resistencia:

                                                                  V= I*R

Los circuitos básicos, se pueden hacer de las siguientes maneras:

Además existe un tercer circuito, el circuito mixto, que es, una mezcla de los dos tipos de circuitos esenciales.

Los tipos de circuitos usados para la electricidad las casas, forman parte de la llamada corriente altera, que por sus métodos de funcionamiento, indica ser la más rentable.

En la corriente alterna, no solo se puede presentar una resistencia, además, es posible presentar una reactancia, pudiendo ser capacitiva o inductiva, y estos son, algunos efectos conseguidos gracias a el uso de artefactos externos para el funcionamiento del circuito.

La corriente alterna es descrita a través de la función seno, por el funcionamiento del voltaje, ejemplo:

                                                                   v(t) = |V|sen(wt)

Esto es, una medición del voltaje a medida que pasa el tiempo, además de indicarnos, de la fluidez de la corriente, ya que como se sabrá, "w" representa la velocidad angular, dada por w = 2pif, donde "f" es la frecuencia y esta es de 50Hz o 60Hz. 

Como existe la posibilidad de presentar una carga de cierre, es decir un resistor, y además de ello, un capacitor o inductor, se puede formar lo llamado, impedancia.

La impedancia está representada con el siguiente número complejo:

                                                                   Z = R+xi

Donde "x" representa la reactancia, pudiendo ser capacitiva o inductiva, cuando presentamos un número imaginario puro, es decir, no presenta resistencia pero si reactancia, presentamos o una capacitancia pura, o una inductancia pura, pudiendo adelantar o retrasar la corriente 90°.

Como sabemos, el circuito de interés es el que contiene una fuente de tensión, así que lo que podemos calcular, es la corriente, pero al presentar una impedancia, tenemos que recurrir  a el uso de números complejos para poder calcular la corriente, para ello, aplicaremos la propiedad de la división de complejos, es decir, la división de dos complejos con sus respectivos argumentos da como resultado un complejo cuyo módulo es la división de los módulos de los complejos involucrados y el argumento es la resta de los argumentos involucrados.

Por comodidad, llevamos el voltaje y impedancia a la notación polar, y el voltaje, es considerado como la parte real del numero complejo, pudiendo así, donde el voltaje pico, es el módulo del complejo, el resultado es, un nuevo complejo como ya sabemos, en notación polar, con la fórmula de Euler, podemos llegar a su notación binomial, donde la parte real, corresponde a la corriente en ese segundo medido.

Existen otros métodos de división de números complejos pero por comodidad, podemos aprovechar esta expresión, la otra vía es, teniendo la división de los dos complejos en notación binomial, multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador, y así, obtener la corriente, considerando solo, la parte real resultante.

Los teoremas fundamentales de los números complejos

Antes de todo, incorporaremos una nueva variante de un número complejo además de su conjugado, su opuesto.

El cual, en pocas palabras, es el número complejo multiplicado por -1, es decir:

Si un número complejo es Z = x+yi, su conjugado sería Z* = -Z, es decir, Z* = -x-yi.

Podemos visualizar en el plano complejo, a un número complejo, junto a su opuesto y conjugado:

Como podemos apreciar, el módulo de todos los complejos es semejante, es decir:

                                                                     |Z| = |Z*| = |Z~|

Llamando como "|Z~|" al respectivo complejo conjugado.

Eso se puede demostrar fácilmente por el teorema de pitagoras, comprendiendo la ley de los signos y leyes de potenciación.

Un teorema de gran interés es el siguiente:

                                                                      |Z|^2=(Z)(Z~)

 Eso podemos demostrarlo, haciendo uso de la sustitución y propiedades esenciales de los números:

El teorema de igual relevancia establece que: 

Eso lo podemos demostrar fácilmente con la fórmula de Euler:

Y así de sencillo, puede ser demostrado.

Los números complejos tienen propiedades como, comportamiento de vector, la suma y resta de argumentos si hay una multiplicación o división respectivamente, su interpretación como exponencial por entender el giro, etc.

Todas esas propiedades, nos sirven para describir el universo, y pronto, sabremos de que forma lo hacen.

La incorporación de la trigonometría en el reino complejo

El existir de los números complejos, ha hecho que tengamos otra comprensión de estos, como saber que los números pueden girar, además de que, un negativo, es un positivo girando, eso nos trae, nuevas comprensiones sobre los números complejos, por simple lógica, podemos pensar que la única manera en la que un número puede girar, es considerándolo como vector, y realmente, al sumar números complejos, el número complejo resultante, tiene el comportamiento de un vector resultante de la suma de dos vectores linealmente independientes.

La trigonometría tiene mucho de que hablar en cuanto a la manifestación de los números complejos, existen identidades trigonométricas que aparentan no ser demostrables, como las siguentes:


                                                cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)
                                                sen(x+y) = cos(x)sen(y)+cos(y)sen(x)


Esas identidades pueden ser demostradas a través de números complejos apoyandonos de los aportes que trajo consigo la fórmula de Euler.

Sabemos que por si misma, representa el giro de 1, en determinado ángulo.

El producto de 1 girando un ángulo "x" por 1 girando un angulo "y", podemos representarlo con la fórmula de Euler:

Y podemos ir desarrollando por ambos lados, llegando a lo siguiente:

No solo eso se puede demostrar, como ya sabemos, tanto seno como coseno se pueden representar como una suma o resta de exponenciales complejas, que a continuación serán demostradas.

En el caso de seno:

Evidentemente, se cancela el término "2i" en numerador y denominador.

En el caso de coseno:

Evidentemente, el 2, se cancela en numerador y denominador.

Esa notación de exponenciales, surge de un par de teoremas por así llamarlos, de los números complejos y su respectivo conjugado, el uso de un argumento negativo en la fórmula, representa el conjugado, como se vio en la primer publicación.

El reino complejo abarca muchos campos de las matemáticas, que pronto iremos conociendo mucho mejor.

Las funciones complejas

Como ya sabemos, las funciones, desde la definición principal, son una relación de correspondencia entre dos variables, donde a el valor de una variable, le corresponde el valor de otra:


                                                                           

Esa relación se puede representar con pares ordenados, por ejemplo:

                                                         S={(1,a), (2,d), (3,b), (3,c)}

Lo que diferencia a una función de otro tipo de relaciones de correspondencia es, que esa correspondencia está dada con una expresión matemática, ejemplo:

                                                                         y = 2x


El conjunto numérico que contiene a la variable independiente, por así llamarla, se le conoce como dominio, mientras que el conjunto que contiene a los valores de correspondencia, es decir, a la variable dependiente, se le conoce como rango o condominio, dichos conjuntos se ven de la siguente manera:

                                                        D = {x : x pertenece a R}

                                                C = {y : y pertenece a R ^ y = f(x)}

El término "f(x)", representa la correspondencia de esa variable, es decir, "y", es el correspondiente valor de un valor "x", en este caso, el doble de un valor "x".

El considerar así a la correspondencia, nos permite realizar ecuaciones, como sería, encontrar el número que le corresponde dicho números.

Estos casos, son conocidos como función real, claro que el mundo complejo no se queda atrás.

Supongamos una región del plano complejo:

Las funciones complejas, son una relación de transferencia de una región de números complejos de un plano "C" a un plano "W", y esto se debe, a que tratamos con puntos en el plano complejo, es decir, números girando, no números sujetos a la recta real.

 El proceso de traslado es llamado mapeo, un ejemplo sencillo es el siguiente:

Supongamos la siguiente función compleja:


                                                           f(Z) = 2Z+1

Y sabemos que:

                                                            Z =  x+yi

Entonces:


                                                   f(Z) = 2(x+yi)+1

                                                   f(Z) = 2x+2yi+1


Acomodándolo en la notación de un complejo:


                                                  f(Z) = (2x+1)+2yi


Todo número complejo del plano "W" tiene la siguente notación:


                                                      w = u+vi


En estos casos, si:

                                                    f(Z) = w


Es decir, f(Z) define el correspondiente número complejo en ese plano, llegamos a:

                                                    u = 2x+1

                                                    v = 2y


Si suponemos que son coordenadas dependientes de el complejo que consideramos:

                                                  u(x,y) = 2x+1

                                                   v(x,y) = 2y

Las coordenadas del nuevo plano son obtenidas con esas ecuaciones paramétricas, llamadas así, por definir la ubicación del punto en el plano "W".


Este  tipo de mapeo es muy sencillo, pero existen casos más complejos como los siguientes:

• f(Z) = cos(Z)
• f(Z) = e^Z

No solo son transferidos a dicho plano, dependiendo de los casos posibles, se manifiestan de distintas formas.

En el caso del coseno complejo, pueden hacer dos manifestaciones fundamentales, supongamos una recta:

Al ser mapeada, pasa de la siguiente manera:

 Y eso lo podemos demostrar de una manera sencilla.

Después del largo proceso, llegamos a las siguientes ecuaciones paramétricas:

                                                            u(x,y) = cos(x)cosh(y)

                                                            v(x,y) = sen(x)senh(y)

Por tratarse de una recta vertical, x = n, es decir, es una constante, entonces, reducimos las ecuaciones a lo siguiente:

                                                        u(y) = cos(n)cosh(y)
                                                        v(y) = sen(n)senh(y)

Y suponemos que:

                                                       A = cos(n)
                                                       B = sen(n)

Y por comodidad, dejamos las ecuaciones de la siguiente forma:

                                                    u = Acosh(y)
                                                    v = Bsenh(y)

Despejamos las funciones hiperbólicas en ambas ecuaciones y encontramos la manera de llegar a la ecuación de la hipérbola, sabiendo lo siguiente:


                                                cosh^2(t)-senh^2(t) = 1

Entonces a el cuadrado de la primera ecuación, le restamos el cuadrado de la segunda ecuación, llegando a lo siguiente:                                             

Lo mismo pasa con una recta horizontal, la diferencia, es que nos lleva a lo siguente:

La demostración es la misma, solo que ahora, "y" es una constante y tenemos que sumar el cuadrado de ambas ecuaciones para llegar a la ecuación de la elipse, igual sustituyendo por una letra, las partes constantes de la ecuación paramétrica.