Función como conjunto de pares ordenados

El trabajar con conjuntos, es algo que pude llegar a ser frecuente en muchos asuntos de la vida cotidiana, como un grupo de alumnos en una escuela, un grupo musical, etc, grupos de "cosas" que tienen algo en común.

Sabemos que los conjuntos pueden ser numéricos, habiendo conjuntos, reales, racionales, irracionales, enteros y naturales, todos desarrollados en distintos contextos, sin embargo, el conjunto numérico por excelencia, aquél que tiene el uso más extenso, es el conjunto de los números reales.

En las matemáticas, una relación es, cuando a un elemento de un conjunto le corresponde un elemento de otro conjunto, y es algo que se puede aplicar en la vida diaria, como mencionar,  que a un alumno le corresponde una matricula, a un examen le corresponde una calificación, etc.

Las relaciones pueden representarse como conjuntos de pares ordenados, por ejemplo:

S = {(protón,antiprotón),(electrón,positrón),(neutrón,antineutrón)}

En este ejemplo, representamos la relación de correspondencia, entre una partícula y su antipartícula.

Las relaciones también pueden hacerse con números, en estos casos por comodidad recurrimos a los reales, donde hacemos una correspondencia de un real, con otro real, como se puede representar a continuación:

A un número "x" le corresponde un número "y", pudiendo ser, su doble, su raíz, su cuadrado, etc.

Cuando una relación entre dos números está dada por una expresión matemática, se dice que es una función, ejemplo:

y = 3x

 A todo "x" le corresponde su triple denominado "y", es claro que se pueden hacer expresiones más complejas que esta, y eso es muy útil en muchos casos.

Podemos representar esa relación con pares ordenados, como en ese caso, podemos plantear:

F = {(0,0),(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}

Obviamente es solo un ejemplo, la función tiene infinitos pares ordenados.

Por definición podemos representar a toda función como un conjunto de pares ordenados representando una relación numérica, dada por una expresión matemática, ejemplo:

F = {(x,y) : y =8x+18}

 Los conjuntos considerados en la relación tienen su respectivo nombre:

De forma abierta, llamemos variable independiente a "x", y variable dependiente a "y" y definamos los nombre:

• El conjunto numérico que contiene todos los valores de la variable independiente es llamado dominio
• El conjunto numérico que contiene a todos los valores de la variable dependiente es llamado contradominio o rango

Un detalle interesante, es que si graficamos todos los pares ordenados en el plano cartesiano, llegamos a bellas expresiones gráficas por así llamarlas, como el siguiente caso:

Eso nos ayuda a definir con facilidad el dominio y rango de la función, en estos casos, el dominio son todos los reales y el rango va desde -1 a 1, es decir, el intervalo [-1,1], por la amplitud de la onda representada por esa función.

En general las funciones se representan con f(x), para denotar que un valor es correspondido por un "x" del dominio.

Por naturaleza de la expresión matemática, podemos presentar una discontinuidad en la función, es decir, a un valor de "x", no le corresponde un "y", pudiendose ver de distintas formas, en estos casos, se dividen en tres tipos:

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

 Podemos saber cuando se presenta cada caso con los limites de una funcion, tema tratado en anteriormente, en la definición formal de limite.

El graficar, nos hace llegar a expresiones geométricas como rectas o parábolas, que nos ayudan a llegar rápido a su expresión matemática.

En la antiguedad, Leibniz, pensaba que una función se componía por rectas infinitesimales, hoy en día tenemos esta definición de función, desde luego, su representación gráfico puede presentar rectas tangentes y área bajo su curva, eso es tratado en el cálculo diferencial y integral respectivamente, ya que tienen propiedades de mucha importancia en su abstracción y en modelos matemáticos.

El producto cartesiano

Supongamos los siguientes conjuntos:

A = {2,5,6}

B = {3,4,7}

Podemos formar a partir de ellos, un conjunto de pares ordenados, que es denominado, producto cartesiano, expresado, de la siguiente manera:

AxB = {(a,b) : a pertenece a A^ b pertenece a B}

En estos casos, el producto nos quedaría así:

AxB = {(2,3),(2,4),(2,7),(5,3),(5,4),(5,7),(6,3),(6,4),(6,7)}

Por extensión y por comprensión, el conjunto se ve de esas formas.

Al experimentar con el producto cartesiano, podemos llegar a las siguientes propiedades:

• No existe la propiedad comnotativa en el producto cartesiano
• la cantidad de pares ordenados del producto es igual a la cantidad de elementos del conjunto A por la cantidad de elementos del conjunto B

Esas son propiedades relevantes que pueden describir mucho de ello.

Parece una simple casualidad de la teoría de conjuntos, pero tiene relevancia, dentro de las funciones de varias variables, ya que es una correspondencia, de un producto cartesiano y un determinado número de determinado conjunto.

La antiderivada n-esima

Anteriormente se trató a la derivada, y la derivada n-esima, de una función trascendente y el producto de funciones, pudimos notar que poder llegar a la derivada "n", tan solo sabiendo como se comportan sus derivadas.

Las integrales, también conocidas como antiderivadas no se quedan atrás, su comportamiento en algunos casos sigue un patrón, que podemos aprovechar para expresar la antiderivada n-esima, ejemplo:

Al contrario de la derivada n-esima, cuando n=0, no llegamos a la función.

Al igual que las derivación en funciones trascendentes, también podemos encontrar interesantes expresiones para llegar rápido a la antiderivada de interés.

La longitud de curva de una función

Hemos tratado a fondo distintas propiedades del cálculo infinitesimal, ya sean, asuntos del cálculo diferencial como los limites y derivadas, también tratando al cálculo integral, con el área bajo la curva y  una introducción a ecuaciones diferenciales.

Uno de los puntos importantes que se intentan resolver en el cálculo infinitesimal son los siguientes:

• La recta tangente en la curva de una función
• El área bajo la curva de una función
• La longitud de la curva de una función

Y para ello, nos apoyamos de las propiedades de las funciones en magnitudes infinitesimales, en esta ocasión, gracias a los puntos anteriores, entenderemos como calcular la longitud de la curva de una función.

Un punto a considerar para comenzar, es que para Leibniz, la curva de una función estaba compuesta por rectas infinitesimales, que a gran escala, dan forma a la curva de una función, como es vista.

En base a ese razonamiento, calcularemos una infinidad de rectas en un intervalo [a,b] de una función, desde luego, con apoyo de las integrales, es más sencillo.

Partimos de definir un segmento en la curva, planteando la longitud de dicho segmento y a partir de ello, encontramos un método estratégico, para definir la fórmula para una curva completa:

También se pudo integrar respecto "y", sin embargo, por comodidad, elegí integrar respecto "x".

A partir de ello y los correspondientes métodos de integración, podremos calcular con facilidad, la longitud de la curva de interés.

Nota:

S = [u]

Demostración del teorema fundamental del cálculo

Anteriormente hemos tratado con distintos asuntos, como podría ser, las funciones compuestas, el valor medio y las derivadas, todo ello, nos ayudará a demostrar el teorema, que en métodos sencillos, se simplifica en los siguiente:

En el siguiente caso, el considerar funciones en los limites de integración, solo requerimos de, la regla de la cadena y demás técnicas de derivación conocidas, ya que podemos asegurar, que es real.

El teorema de valor medio para integrales

Anteriormente trabajamos con el teorema del valor medio, apreciando que en un intervalo continuo [a,b] y derivable en (a,b), existe un "c", que resulta semejante a la tasa de variación del intervalo.

Podemos ver una variante de dicho teorema si añadimos una integral:

Supongamos que f'(x)=g(x) podemos entender al lado derecho de la igualdad, como el valor promedio de la función en el intervalo [a,b]:

A partir de ello, supongamos las propiedades que debe presentar la función:

• g(x) es continua en [a,b]
• g(x) es derivable en (a,b)

Si determinada función cumple esas propiedades, existe un "c" dentro del intervalo [a,b], que su valor es equivalente a la tasa de variación media del intervalo.

El cálculo diferencial y los números imaginarios

Anteriormente tratamos a la n-esima derivada de una función trascendente, sin embargo, a pesar de encontrar esos patrones, existen ciertas funciones, que requieren un trato especial, seno y coseno, ya que, dichas funciones, forman un ciclo de 4 derivadas en los que se pasa de seno a coseno a menos seno, etc.

Pudiendo visualizar las derivadas, como un giro de un plano finito:

Como podemos notar, es como si por cada derivada, girara 90°, semejante al giro de número:

La diferencia es que en estos casos, solo consideramos los 4 giros de 90° para la vuelta completa, el considerar eso, nos puede ayudar a llegar rápido, a la n-esima derivada de seno, aplicando las propiedades, de la potenciación de números imaginarios, los números complejos, están ahí, sin darnos cuenta.

Ejemplo, si optamos por la novena derivada de sen(x), al utilizar las propiedades de los imaginarios suponiendo i^9, llegamos a i, que en el plano de la derivada de seno, equivale a cos(x).

No solo la trigonometría ha entrado al reino complejo, también el cálculo diferencial, y pronto, quizás encontremos más adaptaciones, a dicha rama de estudio.